Алгебра Кэли
А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается , поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами.
Впервые рассмотрена в 1843 году Джоном Грейвсом[англ.], приятелем[1] Уильяма Гамильтона, а двумя годами позже — независимо Артуром Кэли.
Число Кэли — это линейная комбинация элементов , то есть октава может быть записана в форме:
с вещественными коэффициентами . Октонионы находят применение в физике, в частности, в специальной теории относительности и теории струн[2].
Таблицы умножения
[править | править код]Таблица умножения элементов октавы:
1 | i (e1) | j (e2) | k (e3) | l (e4) | il (e5) | jl (e6) | kl (e7) |
---|---|---|---|---|---|---|---|
i (e1) | −1 | k | −j | il | −l | −kl | jl |
j (e2) | −k | −1 | i | jl | kl | −l | −il |
k (e3) | j | −i | −1 | kl | −jl | il | −l |
l (e4) | −il | −jl | −kl | −1 | i | j | k |
il (e5) | l | −kl | jl | −i | −1 | −k | j |
jl (e6) | kl | l | −il | −j | k | −1 | −i |
kl (e7) | −jl | il | l | −k | −j | i | −1 |
Таблица (Кэли) умножения октонионов[3]:
e0 | e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
e1 | −1 | e3 | −e2 | e5 | −e4 | −e7 | e6 |
e2 | −e3 | −1 | e1 | e6 | e7 | −e4 | −e5 |
e3 | e2 | −e1 | −1 | e7 | −e6 | e5 | −e4 |
e4 | −e5 | −e6 | −e7 | −1 | e1 | e2 | e3 |
e5 | e4 | −e7 | e6 | −e1 | −1 | −e3 | e2 |
e6 | e7 | e4 | −e5 | −e2 | e3 | −1 | −e1 |
e7 | −e6 | e5 | e4 | −e3 | −e2 | e1 | −1 |
Иногда заменяются буквенным обозначением:
Номер | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Буквы | i | j | k | l | il | jl | kl |
Замена | i | j | k | l | m | n | o |
Свойства
[править | править код]По теореме Фробениуса алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля.
Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, альтернативной, но неассоциативной и некоммутативной.
Для октониона операция сопряжения определена равенством:
- .
Сопряжение удовлетворяет равенствам:
- и
Вещественная часть октониона определена равенством:
- ,
мнимая часть:
- .
Норма октониона : ; тогда и только тогда, когда . Из определения нормы следует, что октонион обратим и
- .
Из-за неассоциативности октонионы не имеют матричных представлений.
Примечания
[править | править код]- ↑ Куда же спряталась самая свободная алгебра? (HTML) (26 января 2003). Дата обращения: 4 октября 2009. Архивировано из оригинала 27 февраля 2012 года.
- ↑ Ian Stewart: The Missing Link Архивная копия от 5 мая 2010 на Wayback Machine (недоступная ссылка с 19-05-2013 [4215 дней] — история) (англ.). Ссылка недоступна по состоянию на 6 ноября 2010.
Статья The missing link (недоступная ссылка) на yahoo.com, русский перевод Архивная копия от 6 мая 2010 на Wayback Machine на scientific.ru. - ↑ Антисимметрия по диагонали для −1
Литература
[править | править код]- Джон Баэс. Октонионы Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, № 1(5), Vol 3(2006), с.120-176.