Кватернион

Кватернио́ны (англ. quaternion) — это система гиперкомплексных чисел, предложенная У. Р. Гамильтоном в 1843 году.

Умножение кватернионов некоммутативно; они образуют тело, которое обычно обозначается $\mathbb {H}$.

Кватернионы очень удобны для описания изометрий трёхмерного и четырёхмерного Евклидовых пространств, и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике, например при создании трёхмерной графики.

Определения

Вектор-скаляр

Кватернион представляет собой пару $\left(a,{\vec {u}}\right),$ где ${\vec {u}}$ — вектор трёхмерного пространства, а $a\,$ — скаляр, то есть вещественное число. Операции сложения определены следующим образом:

$\left(a,{\vec {u}}\right)+\left(b,{\vec {v}}\right)=\left(a+b,{\vec {u}}+{\vec {v}}\right)$

Произведение должно быть дистрибутивно и

$\left(a,0\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(0,{\vec {v}}\right)\left(a,0\right)=\left(0,a{\vec {v}}\right)$

$\left(a,0\right)\left(b,0\right)=\left(ab,0\right)\,$

$\left(0,{\vec {u}}\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}},{\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)$

где $\cdot$ обозначает скалярное произведение, а $\times$ — векторное произведение. Антикоммутативность векторного произведения в последнем определении влечёт некоммутативность произведения кватернионов.

Матричные определения

Через комплексные матрицы

Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

${\begin{pmatrix}\;\;\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\;\;a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}},$

здесь ${\bar {\alpha }}$ и ${\bar {\beta }}$ обозначают комплексно-сопряжённые числа к $\,\alpha$ и $\,\beta$.

Такое представление имеет несколько замечательных свойств:

• комплексному числу соответствует диагональная матрица;
• сопряжённому кватерниону соответствует сопряжённая транспонированная матрица:

  ${\bar {q}}\mapsto {\bar {Q}}^{T}$;

• квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы:

  $\left|q\right|^{2}=\det Q$.

Через вещественные матрицы

Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

${\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\;a&-d&\;\;c\\c&\;\;d&\;\;a&-b\\d&-c&\;\;b&\;\;a\end{pmatrix}}.$

При такой записи:

• сопряжённому кватерниону соответствует транспонированная матрица:

  ${\bar {q}}\mapsto Q^{T}$;

• четвёртая степень модуля кватерниона равна определителю соответствующей матрицы:

  $\left|q\right|^{4}=\det Q$.

Стандартное определение

Кватернионы можно определить как формальную сумму $\,a+bi+cj+dk,$ где $\,a,b,c,d$ — вещественные числа, а $\,i,j,k$ — мнимые единицы со следующим свойством: $i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$. Таким образом, таблица умножения базисных кватернионов — $\,1,i,j,k$ — выглядит так:

·	$1$	$i$	$j$	$k$
$1$	$\,1$	$\,i$	$\,j$	$\,k$
$i$	$\,i$	$\,-1$	$\,k$	$\,-j$
$j$	$\,j$	$\,-k$	$\,-1$	$\,i$
$k$	$\,k$	$\,j$	$\,-i$	$\,-1$

например, $\,ij=k$, a $\,ji=-k$.

Через комплексные числа

Основная статья: Процедура Кэли — Диксона

Кватернион можно представить как пару комплексных чисел. Пусть $j^{2}=-1,\,j\neq \pm i$ и $z,w\in \mathbb {C}$. Тогда кватернион можно записать в виде $q=z+wj=a+bi+cj+dij$.

Связанные определения

Для кватерниона

$\,q=a+bi+cj+dk$

кватернион $\,a$ называется скалярной частью $\,q,$ а кватернион $\,u=bi+cj+dk$ — векторной частью. Если $\,u=0,$ то кватернион называется чисто скалярным, а при $\,a=0$ — чисто векторным.

Сопряжение

Кватернион

${\bar {q}}=a-bi-cj-dk$

называется сопряжённым к $\,q.$

Сопряжённое произведение есть произведение сопряжённых в обратном порядке:

${\overline {pq}}={\bar {q}}{\bar {p}}$

Для кватернионов справедливо равенство

${\overline {p}}=-{\frac {1}{2}}(p+ipi+jpj+kpk)$

Модуль

Так же, как и для комплексных чисел,

$\left|q\right|={\sqrt {q{\bar {q}}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}$

называется модулем $\,q$. Если $\,\left|q\right|=1,$ то $\,q$ называется единичным кватернионом.

В качестве нормы кватерниона обычно рассматривают его модуль: $\left\|z\right\|=\left|z\right|$.

Таким образом, на множестве кватернионов можно ввести метрику. Кватернионы образуют метрическое пространство, изоморфное $\mathbb {R} ^{4}$ с евклидовой метрикой.

Кватернионы с модулем в качестве нормы образуют банахову алгебру.

Из тождества четырёх квадратов вытекает, что $\left|p\cdot q\right|=\left|p\right|\cdot \left|q\right|,$ иными словами, кватернионы обладают мультипликативной нормой и образуют ассоциативную алгебру с делением.

Обращение

Кватернион, обратный по умножению к $q$, вычисляется так:

$q^{-1}={\frac {\bar {q}}{\left|q\right|^{2}}}$.

Алгебраические свойства

Четыре базисных кватерниона и четыре противоположных им по знаку образуют по умножению группу кватернионов (порядка 8). Обозначается:

$Q_{8}=\left\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\right\}$.

Множество кватернионов является примером кольца с делением.

Множество кватернионов образует четырёхмерную ассоциативную алгебру с делением над полем вещественных (но не комплексных) чисел. Вообще $\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$, $\mathbb {H}$ являются единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над полем вещественных чисел.

Некоммутативность умножения кватернионов приводит к неожиданным последствиям. Например, количество различных корней полиномиального уравнения над множеством кватернионов может быть больше, чем степень уравнения. В частности, уравнение $q^{2}+1=0$ имеет бесконечно много решений — это все единичные чисто векторные кватернионы.

Кватернионы и повороты пространства

Кватернионы, рассматриваемые как алгебра над $\scriptstyle {\mathbb {R}}$, образуют четырёхмерное вещественное векторное пространство. Любой поворот этого пространства относительно $\,0$ может быть записан в виде $q\mapsto \xi q\zeta$, где $\,\xi$ и $\,\zeta$ — пара единичных кватернионов, при этом пара $\,\left(\xi ,\zeta \right)$ определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары — $\,\left(\xi ,\zeta \right)$ и $\,\left(-\xi ,-\zeta \right)$. Из этого следует, что группа Ли $SO\left(\mathbb {R} ,4\right)$ поворотов $\mathbb {R} ^{4}$ есть факторгруппа $S^{3}\times S^{3}/\mathbb {Z} _{2}$, где $\,S^{3}$ обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.

Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное вещественно векторное пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно $\,0$ может быть записан в виде $u\mapsto \xi u{\bar {\xi }}$, где $\,\xi$ — некоторый единичный кватернион. Соответственно, $SO\left(\mathbb {R} ,3\right)=S^{3}/\mathbb {Z} _{2}$, в частности, $SO\left(\mathbb {R} ,3\right)$ диффеоморфно $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{3}$.

Целые кватернионы

В качестве нормы кватерниона выберем квадрат его модуля: $\left\|z\right\|=\left|z\right|^{2}$.

Целыми принято называть кватернионы $a+bi+cj+dk$ такие, что все $2a,2b,2c,2d$ — целые и одинаковой чётности.

Целый кватернион называется

• чётным
• нечётным
• простым

если таким же свойством обладает его норма.

Целый кватернион называется примитивным, если он не делится ни на какое натуральное число, кроме $1$, нацело (иными словами, $\gcd \left(2a,2b,2c,2d\right)\leq 2$).

Целые единичные кватернионы

Существует 24 целых единичных кватерниона:

$\pm 1$, $\pm i$, $\pm j$, $\pm k$, ${\frac {\pm 1\pm i\pm j\pm k}{2}}$.

Они образуют группу по умножению и лежат в вершинах правильного четырёхмерного многогранника — кубооктаэдра.

Разложение на простые сомножители

Для примитивных кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики.

Теорема. Для любого фиксированного порядка множителей в разложении нормы кватерниона $N(q)$ в произведение простых целых положительных чисел $N(q)=p_{1}p_{2}...p_{n}$ существует разложение кватерниона $q$ в произведение простых кватернионов $q=q_{1}q_{2}...q_{n}$ такое, что $N(q_{i})=p_{i}$. Причём данное разложение единственно по модулю домножения на единицы — это значит, что любое другое разложение будет иметь вид

$q=\left(q_{1}\epsilon _{1}\right)\left({\bar {\epsilon }}_{1}q_{2}\epsilon _{2}\right)\left({\bar {\epsilon }}_{2}q_{3}\epsilon _{3}\right)...\left({\bar {\epsilon }}_{n-1}q_{n}\right)$,

где $\epsilon _{1}$, $\epsilon _{2}$, $\epsilon _{3}$, … $\epsilon _{n-1}$ — целые единичные кватернионы.

Например, примитивный кватернион нормы 60 имеет (по модулю домножения на единицы) ровно 12 разложений в произведение простых кватернионов, отвечающих 12 разложениям числа 60 в произведений простых:

$60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\quad 60=2\cdot 2\cdot 5\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 2\cdot 5\quad 60=2\cdot 5\cdot 2\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 5\cdot 2\quad 60=2\cdot 5\cdot 3\cdot 2$

$60=3\cdot 2\cdot 2\cdot 5\quad 60=5\cdot 2\cdot 2\cdot 3\quad 60=3\cdot 2\cdot 5\cdot 2\quad 60=5\cdot 2\cdot 3\cdot 2\quad 60=3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\quad 60=5\cdot 3\cdot 2\cdot 2$

Общее число разложений такого кватерниона равно $24^{3}\cdot 12=165888$

Функции кватернионного переменного

Вспомогательные функции

Знак кватерниона вычисляется так:

$\operatorname {sgn} \,q={\frac {q}{\left|q\right|}}$.

Аргумент кватерниона — это угол поворота четырёхмерного вектора, который отсчитывается от вещественной единицы:

$\arg q=\arccos {\frac {a}{\left|q\right|}}$.

Элементарные функции

Степень и логарифм

На множестве кватернионов можно определить показательную и логарифмическую функции. Это можно сделать, так как кватернионы образуют алгебру с делением.

$\exp q=\exp a\left(\cos \left|u\right|+\operatorname {sgn} \,u\sin \left|u\right|\right)$

$\ln q=\ln \left|q\right|+\operatorname {sgn} \,u\arg q$

$p^{q}=\exp \left(\left(\ln p\right)q\right)$

Тригонометрические функции

$\sin q=\sin a\,\operatorname {ch} \left|u\right|+\cos a\,\operatorname {sgn} \,u\,\operatorname {sh} \left|u\right|$

$\cos q=\cos a\,\operatorname {ch} \left|u\right|-\sin a\,\operatorname {sgn} \,u\,\operatorname {sh} \left|u\right|$

$\operatorname {tg} \,q={\frac {\sin q}{\cos q}}$

Регулярные функции

Основная статья: Кватернионный анализ

Существуют разные способы определения регулярных функций кватернионного переменного. Самый явный — рассмотрение кватернионно дифференцируемых функций, при этом можно рассматривать праводифференцируемые и леводифференцируемые функции, не совпадающие в силу некоммутативности умножения кватернионов. Очевидно, что их теория полностью аналогична. Определим кватернионно леводифференцируемую функцию $f$ как имеющую предел

${\frac {df}{dq}}=\lim _{h\to 0}\left[h^{-1}\left(f\left(q+h\right)-f\left(q\right)\right)\right]$

Оказывается, что все такие функции имеют в некоторой окрестности точки $q$ вид

$f=a+qb$

где $a,b$ — постоянные кватернионы. Другой способ основан на использовании операторов

${\frac {\partial }{\partial {\bar {q}}}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {i}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\vec {j}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\vec {k}}{\frac {\partial }{\partial z}}$

${\frac {\partial }{\partial q}}={\frac {\partial }{\partial t}}-{\vec {i}}{\frac {\partial }{\partial x}}-{\vec {j}}{\frac {\partial }{\partial y}}-{\vec {k}}{\frac {\partial }{\partial z}}$

и рассмотрении таких кватернионных функций $f$, для которых

${\frac {\partial f}{\partial {\bar {q}}}}=0$

что полностью аналогично использованию операторов ${\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}$ и ${\frac {\partial }{\partial z}}$ в комплексном случае. При этом получаются аналоги интегральной теоремы Коши, теории вычетов, гармонических функций и рядов Лорана для кватернионных функций.

Производная Гато

Основная статья: Кватернионный анализ

Производная Гато функции кватернионного переменного определена согласно формуле

$\partial f(x)(a)=\lim _{t\to 0}(t^{-1}(f(x+ta)-f(x)))$

Производная Гато является аддитивным отображением приращения аргумента и может быть представлена в виде

$\partial f(x)(dx)={\frac {{}_{(s)0}\partial f(x)}{\partial x}}dx{\frac {{}_{(s)1}\partial f(x)}{\partial x}}$

Здесь предполагается суммирование по индексу $s$. Число слагаемых зависит от выбора функции $f$. Выражения ${\frac {{}_{(s)0}\partial f(x)}{\partial x}}$ и ${\frac {{}_{(s)1}\partial f(x)}{\partial x}}$ называются компонентами производной.

Виды умножений

Умножение Грассмана

Так по-другому называется общепринятое умножение кватернионов ($pq$).

Евклидово умножение

Отличается от общепринятого тем, что вместо первого сомножителя берется сопряжённый к нему: ${\bar {p}}q$. Оно также некоммутативно.

Скалярное произведение

Аналогично одноимённой операции для векторов:

$p\cdot q={\frac {{\bar {p}}q+{\bar {q}}p}{2}}$.

Эту операцию можно использовать для выделения одного из коэффициентов, например, $\left(a+bi+cj+dk\right)\cdot i=b$.

Определение модуля кватерниона можно видоизменить:

$\left|p\right|={\sqrt {p\cdot p}}$.

Внешнее произведение

$\operatorname {Outer} \left(p,q\right)={\frac {{\bar {p}}q-{\bar {q}}p}{2}}$.

Используется не очень часто, тем не менее рассматривается в дополнение к скалярному произведению.

Векторное произведение

Аналогично одноимённой операции для векторов. Результатом является тоже вектор:

$p\times q={\frac {pq-qp}{2}}$.

Из истории

Памятная табличка на мосту Брум Бридж в Дублине: «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, во вспышке гения, сэр Уильям Роуэн Гамильтон открыл формулу перемножения кватернионов»

Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам комплексным, но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной.

Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком Уильямом Гамильтоном в 1843 году, и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон назвал эти числа кватернионами. Позднее Фробениус строго доказал (1877), что расширить комплексное поле до поля или тела с двумя мнимыми единицами невозможно.

Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. Максвелл использовал компактную кватернионную запись для формулировки своих уравнений электромагнитного поля. Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный векторный анализ (Гиббс, Хевисайд).

Новые результаты и направления исследований

Кватернионы и метрика Минковского

Как алгебра над $\scriptstyle {\mathbb {R}}$, кватернионы образуют вещественное векторное пространство $\scriptstyle {\mathbb {H}}$, снабжённое тензором третьего ранга $S$ типа (1,2), иногда называемого структурным тензором. Как всякий тензор такого типа, $S$ отображает каждую 1-форму $t$ на $\scriptstyle {\mathbb {H}}$ и пару векторов $\left(a,b\right)$ из $\scriptstyle {\mathbb {H}}$ в вещественное число $S\left(t,a,b\right)$. Для любой фиксированной 1-формы $t$ $S$ превращается в ковариантный тензор второго ранга, который, в случае его симметрии, становится скалярным произведением на $\scriptstyle {\mathbb {H}}$. Поскольку каждое вещественное векторное пространство является также вещественным линейным многообразием, такое скалярное произведение порождает тензорное поле, которое, при условии его невырожденности, становится (псевдо- или собственно-)евклидовой метрикой на $\scriptstyle {\mathbb {H}}$. В случае кватернионов это скалярное произведение индефинитно, его сигнатура не зависит от 1-формы $t$, а соответствующая псевдоевклидова метрика есть метрика Минковского . Эта метрика автоматически продолжается на группу Ли ненулевых кватернионов вдоль её левоинвариантных векторных полей, образуя так называемую закрытую ФЛРУ (Фридман — Леметр — Робертсон — Уолкер) метрику — важное решение уравнений Эйнштейна. Эти результаты проясняют некоторые аспекты проблемы совместимости квантовой механики и общей теории относительности в рамках теории квантовой гравитации.

См. также

Кватернионы и вращение пространства

Литература

• И. Л. Кантор, А. С. Солодовников Гиперкомплексные числа. — М.: Наука, 1973. — 144 с.
• Мищенко А., Соловьев Ю. Кватернионы, — Квант, N9, 1983.
• Martin John Baker EuclideanSpace.com — применение кватернионов в 3D графике.