Monstrous moonshine

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Monstrous moonshine, также известная как Гипотеза чудовищного вздора — неожиданная[1] связь простой конечной группы-монстра с модулярными функциями (в частности, с -инвариантом)[2]. Была выдвинута как гипотеза в 1970-х годах и доказана в 1992 году.

Monstrous moonshine также называется в английском языке moonshine theory, а до момента доказательства называлась monstrous moonshine hypothesis.

В русском языке она может именоваться оригинальным англоязычным названием или переводиться разными способами:

  • Гипотеза чудовищного вздора[2].
  • Лунные гипотезы[3].
  • Лунный свет[4].
  • Moonshine-гипотеза[5].

Первое проявление связи обнаружено в конце 1970-х годов Джоном Маккеем[англ.], обратившим внимание на то, что коэффициенты ряда Фурье нормализованного -инварианта:

[6]

( — отношение полупериодов[англ.], ) являются специфическими линейными комбинациями размерностей [7] неприводимых представлений группы :

.

Джон Томпсон для объяснения феномена предложил изучить степенные ряды с коэффициентами, являющимися характерами представлений монстра, вычисленными для различных его элементов. В 1979 году Джон Конвей (предложивший термин monstrous moonshine, впервые узнав о соотношении Маккея) и Саймон Нортон[англ.] построили такие функции (ряды Маккея — Томпсона), и обнаружили их сходство с главными модулярными функциями (нем. Hauptmodul), сформулировав содержание гипотезы: каждый ряд Маккея — Томпсона соответствует определённой главной модулярной функции[8].

В 1992 году гипотеза была доказана учеником Конвея Ричардом Борчердсом, впоследствии получившим Филдсовскую премию, в том числе за этот результат. Доказательство существенным образом опиралось на свойства некоторой алгебры вершинных операторов (монстр-вершинной алгебры[англ.]), для которой группа-монстр является группой симметрий, и тем самым обнаружена связь утверждения с теорией струн и конформной теорией поля (основывающихся на алгебрах вершинных операторов).

Примечания

[править | править код]
  1. David Terr. Monstrous Moonshine (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. 1 2 Иэн Стюарт. Укрощение бесконечности: История математики от первых чисел до теории хаоса / пер. с англ. Е. Погосян. — М.: Манн, Иванов и Фербер, 2019. — С. 297. — ISBN 9785001174554.
  3. Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин. Введение в современную теорию чисел. — МЦНМО, 2020. — С. 50.
  4. Дирк Шляйхер, Джон Конвей: человек, который играл в математику Архивная копия от 17 июня 2023 на Wayback Machine // Мат. Прос. серия 3, вып. 28 (2021), перевод Б. Р. Френкина при участии В. А. Воронова
  5. Е. Ю. Смирнов Фризы и цепные дроби Архивная копия от 20 мая 2023 на Wayback Machine // Летняя школа «Современная математика», Дубна, июль 2019
  6. последовательность A014708 в OEIS
  7. последовательность A001379 в OEIS
  8. J. H. Conway and S. P. Norton. Monstrous Moonshine // Bull. London Math. Soc. — 1979. — Vol. 11. — P. 308—339. — doi:10.1112/blms/11.3.308.