Группа (математика)

Гру́ппа в математике — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный. Ветвь общей алгебры, занимающаяся группами, называется теорией групп.

Один из примеров группы — множество целых чисел, снабжённое операцией сложения: сумма любых двух целых чисел также даёт целое число, роль нейтрального элемента играет ноль, а число с противоположным знаком является обратным элементом. Другие примеры — множество вещественных чисел с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат. Благодаря абстрактному определению группы через систему аксиом, не привязанной к специфике образующих множеств, в теории групп создан универсальный аппарат для изучения широкого класса математических объектов самого разнообразного происхождения с точки зрения общих свойств их структуры. Вездесущность групп в математике и за её пределами делает их важнейшей конструкцией в современной математике и её приложениях.

Группа фундаментально родственна понятию симметрии и является важным инструментом в изучении всех её проявлений. Например, группа симметрии отражает свойства геометрического объекта: она состоит из множества преобразований, оставляющих объект неизменным, и операции комбинирования двух таких преобразований, следующих друг за другом. Такие группы симметрии, как точечные группы симметрии, помогают понять явление молекулярной симметрии в химии; группа Пуанкаре характеризует симметрию физического пространства-времени, а специальные унитарные группы применяются в стандартной модели физики элементарных частиц.

Понятие группы ввёл Эварист Галуа, изучая многочлены в 1830-е годы.

Современная теория групп является активным разделом математики. Один из наиболее впечатляющих результатов достигнут в классификации простых конечных групп, которая была завершена в 1981 году: доказательство теоремы составляет десятки тысяч страниц сотен научных статей более ста авторов, опубликованных с 1955 года, но статьи продолжают появляться из-за обнаруживаемых пробелов в доказательстве. С середины 1980-х годов значительное развитие получила геометрическая теория групп, изучающая конечно-порождённые группы как геометрические объекты.

Определение

Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией ${*}$: $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ называется группой $(\mathrm {G} ,*)$, если выполнены следующие аксиомы:

1. ассоциативность: $\forall (a,b,c\in G)\colon (a*b)*c=a*(b*c)$;
2. наличие нейтрального элемента: $\exists e\in G\quad \forall a\in G\colon (e*a=a*e=a)$;
3. наличие обратного элемента: $\forall a\in G\quad \exists a^{-1}\in G\colon (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)$.

Последние две аксиомы можно заменить одной аксиомой существования операции обратной $*$:

$\forall (a,b\in G)\quad \exists (x,y\in G)\colon (a*x=b)\land (y*a=b)$.

При этом вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального элемента и левого обратного элемента. При этом можно доказать, что они автоматически будут обычным нейтральным и обратным элементами.

Связанные определения

Основная статья: Словарь терминов теории групп

• В общем случае от группы не требуется выполнения свойства коммутативности.
  • Пары элементов $a,\;b$, для которых выполнено равенство $a*b=b*a$, называются перестановочными или коммутирующими.
  • Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы.
  • Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой.
• Подгруппа — подмножество $H$ группы $G$, которое является группой относительно операции, определённой в $G$.
• Порядок группы $(G,*)$ — мощность $G$ (то есть число её элементов).
  • Если множество $G$ конечно, то группа называется конечной.
• Гомоморфизмы групп — это отображения групп, которые сохраняют групповую структуру. То есть отображение групп $f\colon (G,*)\to (H,\times )$ называется гомоморфизмом, если удовлетворяет условию $f(a*b)=f(a)\times f(b)$.
• Две группы называются изоморфными, если существуют гомоморфизм групп $f\colon (G,*)\to (H,\times )$ и гомоморфизм групп $g\colon (H,\times )\to (G,*)$, такие что $f(g(a))=a$ и $g(f(b))=b$, где $b\in G$ и $a\in H$. В этом случае эти гомоморфизмы называются изоморфизмами.
• Для элемента $g\in G$ левый смежный класс по подгруппе $H$ — множество $gH=\{gh\mid h\in H\}$, правый смежный класс по подгруппе $H$ — множество $Hg=\{hg\mid h\in H\}$.
• Нормальная подгруппа — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают. Для любого $g\in G$, $gH=Hg$.
• Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой.

Стандартные обозначения

Мультипликативная запись

Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применяется мультипликативная запись:

• результат операции называют произведением и записывают $a\cdot b$ или $ab$;
• нейтральный элемент обозначается «$1$» или $e$ и называется единицей;
• обратный к $a$ элемент записывается как $a^{-1}$.

Если групповая операция именуется умножением, то саму такую группу $\mathrm {G}$ при этом называют мультипликативной и при полном способе записи (когда хотят явно указать групповую операцию) обозначают так: $(\mathrm {G} ,\cdot )$.

Кратные произведения $aa$, $aaa$, $...$ записывают в виде натуральных степеней $a^{2}$, $a^{3}$,$...$. Для элемента $a$ корректно определена целая степень, записывается следующим образом: $a^{0}=e$, $a^{-n}=(a^{-1})^{n}$.

Аддитивная запись

В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:

• пишут «$a+b$» и называют получившийся элемент суммой элементов $a$ и $b$;
• нейтральный элемент обозначают как «$0$» и называют его нулём;
• обратный элемент к $a$ обозначают как «$-a$» и называют его противоположным к $a$ элементом;
• запись сокращают следующим образом: $a+(-b)=a-b$;
• выражения вида $a+a$, $a+a+a$,$-a-a$ обозначают символами $2a$, $3a$, $-2a$.

Если групповая операция именуется сложением, то саму такую группу $\mathrm {G}$ при этом называют аддитивной и при полном способе записи обозначают так: $(\mathrm {G} ,+)$.

Примеры

Существует гигантское количество примеров групп, а также их применений в современном мире. Множество целых чисел, связанных операцией сложения, является аддитивной группой или группой по сложению. Множество рациональных чисел, не включающее $0$, с операцией умножения является мультипликативной группой. Эти группы положили начало возникновению важнейших конструкций в разделе общей алгебры. Группы применяются в различных областях математики. Математические объекты часто связываются с группами для дальнейшего изучения их свойств. Например, Анри Пуанкаре основал топологию, введя понятие фундаментальной группы. Помимо теоретического применения групп существует множество способов применения групп на практике. К примеру, они применяются в криптографии, которая опирается на вычислительную теорию групп и знания в области алгоритмов.

Часы показывают время по модулю 12. ${\begin{aligned}n=12\\9+4&\equiv 1{\pmod {12}}\,\end{aligned}}$.

В модульной арифметике складывают два целых числа, а полученную сумму делят на целое положительное число, называемое впоследствии модулем. Результатом модульной операции является остаток от деления. Для любого модуля $n$ множество целых чисел от $0$ до $n-1$ образует группу по сложению. Обратным элементом к $a$ является число $a^{-1}=n-a$, нейтральный элемент — $0$. Наглядным примером такой группы могут быть часы с циферблатом.

Применение теории групп не ограничивается только математикой, её широко используют в таких науках как физика, химия и информатика.

• Целые числа с операцией сложения. $(\mathbb {Z} ,+)$ — коммутативная группа с нейтральным элементом $0$. Целые числа с операцией умножения не будут образовывать группу. Замкнутость, ассоциативность и существование нейтрального элемента будет иметь место, но не выполнится аксиома о существовании обратного элемента. Например, $a=2$, тогда $a\cdot b=1$ то есть $b=1/2$. Обратный элемент не является целым числом.
• Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность, а нейтральным элементом является единица.
• Свободная группа с двумя образующими ($F_{2}$) состоит из пустого слова (единица группы) и всех конечных слов из четырёх символов $a$, $a^{-1}$, $b$ и $b^{-1}$ таких, что $a$ не появляется рядом с $a^{-1}$ и $b$ не появляется рядом с $b^{-1}$. Операция умножения таких слов — это просто соединение двух слов в одно с последующим сокращением пар $aa^{-1}$, $a^{-1}a$, $bb^{-1}$ и $b^{-1}b$.
• Симметрическая группа. Множество всех биекций конечного множества в себя с операцией композиции является конечной группой, которая называется симметрической группой, или группой перестановок. Мощность конечной симметрической группы $S_{n}$ для множества из $n$ элементов равна $n!$. При $n\geq 3$ эта группа не является абелевой. Любая конечная группа является подгруппой некоторой симметрической группы (теорема Кэли).

6 комплексных корней из единицы образуют циклическую группу

• Циклические группы состоят из степеней $\langle a\rangle =\{a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}$ одного элемента $a$. Элемент $a$ называется образующим циклической группы. Циклические группы всегда коммутативны. Примером такой группы являются уже упомянутые целые числа по сложению. Циклической будет группа, состоящая из $n$ комплексных корней из единицы, то есть группа комплексных чисел $z$, удовлетворяющих условию $z^{n}=1$ и операции умножения комплексных чисел. Мультипликативная конечная группа $(\mathrm {G} ,\cdot )$ также является циклической. Например, $3$ является образующим элементом группы $\mathrm {G}$ при $n=5$:

${\begin{aligned}3^{1}&\equiv 3{\pmod {5}}\\3^{2}&\equiv 4{\pmod {5}}\\3^{3}&\equiv 2{\pmod {5}}\\3^{4}&\equiv 1{\pmod {5}}\,\end{aligned}}$

• Группа кубика Рубика — подгруппа симметрической группы $S_{48}$, элементы которой соответствуют преобразованиям кубика Рубика. Композиция двух преобразований снова является преобразованием, для каждого преобразования существует обратный элемент, имеется ассоциативность и нейтральный элемент.
• Группы Галуа. Были введены в математику для решения полиномиальных уравнений с помощью свойств симметрии. Например, решение квадратного уравнения $ax^{2}+bx+c=0$ даёт корни: $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$ Подобная формула есть для уравнения третьей и четвёртой степени, но не существует для полиномиального уравнения степени $5$ и выше.

Простейшие свойства

• Для каждого элемента $a$ обратный элемент $a^{-1}$ единственен.
• Нейтральный элемент единственен:

  Если $e_{1},e_{2}$— нейтральные, то $e_{1}\cdot e_{2}=e_{1}=e_{2}\cdot e_{1}=e_{2}=e_{1}$.

• $(a^{m})^{n}=a^{mn}$.
• $(a^{-1})^{-1}=a$.
• $a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}$.
• $e^{n}=e$, для любого $n\in \mathbb {Z}$.
• $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$.
• Верны законы сокращения:

  $c\cdot a=c\cdot b\Leftrightarrow a=b$,

  $a\cdot c=b\cdot c\Leftrightarrow a=b$.

• Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.
• Группа содержит единственное решение $x$ любого уравнения $x\cdot c=b$ или $c\cdot x=b$; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».
• Пересечение двух подгрупп группы $\mathrm {G}$ есть подгруппа группы $\mathrm {G}$.
• Теорема Лагранжа: если $\mathrm {G}$ — группа конечного порядка $g$, то порядок $g_{1}$ любой её подгруппы $\mathrm {G_{1}}$ является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы.
• Для определения числа подгрупп в группе используются теорема Лагранжа и теоремы Силова.

Способы задания группы

Группу можно задать:

• С помощью порождающего множества и набора соотношений между его элементами;
• Факторгруппой $G/H$, где $G$ — некоторая группа и $H$ — её нормальная подгруппа;
• Полупрямым произведением двух групп и, в частности,
  • Прямым произведением двух групп $(G,\cdot )$ и $(H,\cdot )$, то есть множеством $G\times H$ пар, наделённым операцией покомпонентного умножения: $(g_{1},h_{1})\cdot (g_{2},h_{2})=(g_{1}\cdot g_{2},h_{1}\cdot h_{2})$;
• Свободным произведением двух групп: свободное произведение групп $G$ и $H$ есть группа, система образующих которой есть объединение систем образующих $G$ и $H$, a система соотношений есть объединение систем соотношений $G$ и $H$.

История

Современное понятие группы сформировалось из нескольких областей математики. Первоначальной движущей силой теории групп были поиски решений алгебраических уравнений степени выше четырёх. Французский математик 19-го века Эварист Галуа, доработав исследования Руффини и Лагранжа, дал критерий разрешимости конкретного алгебраического уравнения с точки зрения группы симметрии его решений. Элементы такой группы Галуа соответствуют определённым перестановкам корней. Идеи Галуа были отвергнуты современниками и опубликованы посмертно Лиувиллем в 1846 году. Опираясь на те же работы, что и Галуа, Коши подробно исследовал группы перестановок. Впервые понятие конечной группы вводит Артур Кэли в 1854 году в своей работе «Глава по теории групп, зависящих от символического уравнения θⁿ = 1» (англ. "On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ$=$1").

Геометрия — вторая область, где группы применялись систематически, особенно группы симметрии как часть «Эрлангенской программы» немецкого математика Феликса Клейна. После возникновения новых разделов геометрии, таких как гиперболическая и проективная геометрии, Клейн использовал теорию групп для их лучшего согласования. Дальнейшее развитие этих идей приводит к введению понятия группы Ли в математику в 1884 году.

Третья область математики, поспособствовавшая развитию теории групп, — теория чисел. Некоторые абелевы группы были неявно использованы в работе Гаусса «Арифметические исследования» (1801). В 1847 году Эрнст Куммер сделал первые попытки доказать Великую теорему Ферма с помощью групп, описывающих разложения на простые числа. В 1870 году Кронекер обобщил работы Куммера и дал близкое к современному определение конечной абелевой группе.

Обособление теории групп началось с работы Камиля Жордана «Трактат о заменах и алгебраических уравнениях» (1870). В 20 веке теория групп начала активно развиваться. Появились на свет пионерская работа Фробениуса и Бёрнсайда о представлении конечных групп, модульная теория представлений Ричарда Браура и записи Шура. Значительных успехов в изучении теории групп Ли и локально компактных групп достигли Вейль и Картан. Алгебраическим дополнением этих теорий стала теория алгебраических групп, впервые сформулированная Клодом Шевалле, позднее упоминаемая в работах Бореля и Титса.

В 1960—61 учебном году в Чикагском университете проходил год теории групп, который собрал вместе таких теоретиков как Даниель Горенстейн, Джон Томпсон и Уолтер Фейт, тем самым заложив фундамент сотрудничества большого числа математиков, которые впоследствии вывели теорему о классификации всех простых конечных групп в 1980-х годах. Этот проект превысил по своим размерам все предыдущие попытки классифицировать группы, как по длине доказательств, так и по количеству учёных, вовлечённых в эту работу. Текущие исследования направлены на упрощение классификации групп. В настоящее время теория групп продолжает активно развиваться и оказывать влияние на остальные разделы математики.

Вариации и обобщения

• Группоид — множество с заданной на нём бинарной операцией.
• Квазигруппа — группоид, состоящий из некоторого множества $Q$ и бинарной операции $\cdot$, такой что для любых $a,b\in Q$ найдутся единственные элементы $x$ и $y$, такие что $a\cdot x=b$ и $y\cdot a=b$.
• Полугруппа — алгебраическая система с заданной на ней ассоциативной бинарной операцией. Множество натуральных чисел с операцией сложения образуют аддитивную полугруппу натуральных чисел.
• Множество $G$ с заданной на нём бинарной операцией $\cdot$, удовлетворяющее только первым двум аксиомам, называется моноидом. Множество натуральных чисел с нулём образуют аддитивный моноид натуральных чисел.

Группы с дополнительной структурой

Многие группы одновременно обладают какой-либо другой (дополнительной) математической структурой. На языке теории категорий это — групповые объекты в категории; иными словами, это — объекты (т.е., например, множества, обладающие определённой математической структурой), для которых задан класс некоторых преобразований (именуемых морфизмами), следующих аксиомам группы. В частности, всякая группа (в ранее определённом смысле) одновременно является множеством, так что группа есть групповой объект в категории множеств Set (морфизмы в этой категории — отображения множеств).

Кольца

Основная статья: Кольцо (математика)

Кольцо — множество $K$, на котором определены бинарные операции коммутативного сложения и (не обязательно коммутативного) умножения, причём относительно сложения К образует группу, а умножение связано со сложением дистрибутивным законом.

Кольцо называют коммутативным и ассоциативным, если заданная на нём операция умножения коммутативна и соответственно ассоциативна. Элемент кольца $1$ называется единицей, если выполнено условие: $a\cdot 1=1\cdot a=a$, где $a$ — любой элемент кольца.

Числовые множества Z, Q, R являются коммутативными ассоциативными кольцами с единицей. Множество векторов с операцией векторного умножения является антикоммутативным кольцом (то есть $a\cdot b=-b\cdot a$) в силу свойств векторного умножения: $a\times b+b\times a=0$.

Поля

Основная статья: Поле (алгебра)

Поле — это коммутативное ассоциативное кольцо $F$ с единицей, причём относительно сложения $F$ образует группу, а ненулевые его элементы являются группой по умножению. Поле не может состоять из одного нуля. Множества рациональных и вещественных чисел являются полями. В любом поле $a\cdot b=0$ только при $a=0$ и/или $b=0$.

Топологические группы

Основная статья: Топологическая группа

Некоторые топологические пространства могут быть одновременно снабжены и групповой структурой. В этом случае такое пространство может оказаться топологической группой.

Именно, топологическая группа — это группа, являющаяся одновременно топологическим пространством, причём умножение элементов группы $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ и операция взятия обратного элемента $\mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ оказываются непрерывными отображениями в используемой топологии. Топологические группы являются групповыми объектами в топологических пространствах Top.

Наиболее важные примеры топологических групп — это аддитивная группа действительных чисел $(\mathbb {R} ,+)$, мультипликативная группа ненулевых действительных чисел $(\mathbb {R^{*}} ,\cdot )$, полная линейная группа $GL(n)$, специальная линейная группа $SL(n)$, ортогональная группа $O(n)$, специальная ортогональная группа $SO(n)$, унитарная группа $U(n)$, специальная унитарная группа $SU(n)$.

Группы Ли

Основная статья: Группа Ли

Группа Ли (в честь Софуса Ли) — это группа, которая одновременно является дифференцируемым многообразием над полем K (в роли последнего могут выступать поля действительных или комплексных чисел), причём умножение элементов группы $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ и операция взятия обратного элемента $\mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ оказываются гладкими отображениями (в комплексном случае требуется голоморфность введённых отображений). При этом всякая комплексная $n$-мерная группа Ли является одновременно вещественной группой Ли размерности $2n$.

Все конкретные группы, приведённые в предыдущем подразделе в качестве примеров топологических групп, одновременно являются и группами Ли.

Естественным образом группы Ли возникают при рассмотрении непрерывных симметрий; так, группу Ли образуют изометрии вида $\mathrm {E} \rightarrow \mathrm {E}$, где $\mathrm {E}$ — евклидово точечное пространство. Полученная группа, обозначаемая $Is(\mathrm {E} )$, является подгруппой другой группы Ли — аффинной группы пространства $\mathrm {E}$, обозначаемой $Aff(\mathrm {E} )$.

Группы Ли являются лучшими из многообразий в плане богатства имеющейся на них структуры и, как таковые, очень важны в дифференциальной геометрии и топологии. Они также играют видную роль в геометрии, математическом анализе, механике и физике.

См. также

• Алгебраические структуры
• Словарь терминов теории групп
• Группа многогранника
• Группа Клейна

Литература

Научная литература

• Сагалович Ю. Л. Введение в алгебраические коды — 2-е изд. — М.: ИППИ РАН, 2010. — 320 с. — ISBN 978-5-901158-14-2
• Белоногов В. А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.
• Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
• Курош А. Г. Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967.
• Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
• Gorenstein D. Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
• Huppert B. Endliche Gruppen. I.B.: Springer, 1967.

Популярная литература

• Александров П. С. Введение в теорию групп. — Т. 7. — («Библиотечка Квант»).
• Садовский Л., Аршинов М. Группы // Квант. — 1976. — № 10.
• Группа // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 88-94. — 352 с.