Глоссарий теории групп
(перенаправлено с «Нормальный ряд подгрупп»)
В этой статье приведены основные термины, используемые в теории групп. Курсив обозначает внутреннюю ссылку на данный глоссарий. В конце приводится таблица основных обозначений , применяемых в теории групп.
P
[править | править код]- -группа
- Группа, для которой существует такое простое число , что порядок каждого её элемента является некоторой степенью этого числа. Конечная -группа также называется примарной.
А
[править | править код]- Абелева группа
- То же, что и коммутативная группа.
- Абелианизация
- Факторгруппа по коммутанту, то есть, для группы ― .
- Аддитивная группа кольца
- Группа, элементами которой являются все элементы данного кольца, а операция совпадает с операцией сложения в кольце.
- Антигомоморфизм групп
- Отображение групп такое, что для произвольных и в (сравните с гомоморфизмом).
- Абсолютно регулярная -группа
- Конечная -группа, в которой , где — подгруппа , образованная -ми степенями её элементов.
Г
[править | править код]- Генератор группы
- 1. Элемент порождающего множества группы.
- 2. Для групп Ли, элемент базиса её алгебры Ли (см. генераторы группы). Также используется термин инфинитезимальный оператор.
- Генетический код группы
- То же, что задание группы.
- Главный ряд подгрупп
- Ряд подгрупп, в котором — максимальная нормальная в подгруппа из для всех членов ряда.
- Голоморф
- Для заданной группы — группа над парами ( — группа автоморфизмов группы ) с групповой операцией композиции , определённой как .
- Гомоморфизм групп
- Отображение групп такое, что для произвольных a и b в G.
- Группа
- Непустое множество с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией , при которой в имеется нейтральный элемент , то есть для всех выполнено , и для каждого элемента есть обратный элемент , такой, что .
- Группа Шмидта
- Ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.
- Группа Миллера — Морено
- Неабелева группа, все собственные подгруппы которой абелевы.
- Групповая алгебра
- Для группы над полем — это векторное пространство над , образующими которого являются элементы , а умножение образующих соответствует умножению элементов .
Д
[править | править код]- Действие группы
- Группа действует слева на множестве , если задан гомоморфизм , где — симметрическая группа. Группа действует справа на множестве , если задан гомоморфизм , где — инверсная группа группы .
- Длина ряда подгрупп
- Число в определении ряда подгрупп.
Е
[править | править код]- Естественный гомоморфизм
- Гомоморфизм группы на факторгруппу по нормальной подгруппе , ставящий в соответствие каждому элементу группы смежный класс . Ядром этого гомоморфизма является подгруппа .
З
[править | править код]- Задание группы
- Определение группы указанием порождающего множества и множества соотношений между порождающими , обозначается . Также называется генетический код группы, представление группы (создавая неоднозначность с линейным представлением группы), копредставление группы.
И
[править | править код]- Изоморфизм групп
- Биективный гомоморфизм.
- Изоморфные группы
- Группы, между которыми существует хотя бы один изоморфизм.
- Инвариантная подгруппа
- То же, что и нормальная подгруппа.
- Инверсная группа
- Группа, получаемая сменой местами аргументов бинарной операции, то есть для с операцией — группа с операцией такой, что для всех элементов .
- Индекс подгруппы
- Число смежных классов в каждом (правом или левом) из разложений группы по данной подгруппе.
- Индексы ряда подгрупп
- Индексы в определении субнормального ряда подгрупп.
К
[править | править код]- Класс нильпотентности
- Для нильпотентной группы — минимальная из длин центрального ряда подгрупп.
- Класс смежности
- Для элемента , левый смежный класс (или класс смежности) по подгруппе — множество , правый смежный класс по подгруппе — множество , двойной смежный класс по подгруппам — множество (множество двойных смежных классов обозначается ).
- Класс сопряжённости
- Для элемента — множество всех его сопряжённых элементов: .
- Комитант
- Для группы , действующей на множествах и — отображение такое, что для любых и выполнено .
- Коммутант
- Подгруппа, порождённая всеми коммутаторами группы, обычно обозначается или .
- Коммутативная группа
- Группа с коммутативной бинарной операцией (); также называется абелевой группой.
- Коммутирующие элементы
- Элементы, для которых коммутатор равен единичному элементу группы, или, что эквивалентно, такие элементы , для которых .
- Коммутатор
- Для элементов — элемент .
- Коммутатор подгрупп
- Множество всевозможных произведений .
- Композиционный ряд
- Для группы — ряд подгрупп, в котором все факторгруппы — простые группы.
- Конечная группа
- Группа с конечным числом элементов.
- Конечная -группа
- Группа, являющаяся одновременно конечной и -группой. Также используется термин примарная.
- Конечно заданная группа
- Группа, обладающая конечным числом образующих и задаваемая в этих образующих конечным числом соотношений. Также используется термин конечно определённая.
- Конечнопорождённая абелева группа
- Группа, являющаяся одновременно абелевой и конечнопорождённой.
- Конечнопорождённая группа
- Группа, обладающая конечной системой образующих.
- Копредставление группы
- То же, что задание группы.
- Кручение
- Подгруппа всех элементов конечного порядка, применяется для коммутативных и нильпотентных групп, обозначается .
Л
[править | править код]- Локальное свойство
- Говорят, что группа обладает некоторым локальным свойством , если любая конечнопорождённая подгруппа из обладает этим свойством. Примерами могут служить локальная конечность, локальная нильпотентность.
- Локальная теорема
- Говорят, что для некоторого свойства групп справедлива некоторая локальная теорема, если всякая группа, локально обладающая этим свойством, сама обладает им. Например: локально абелева группа является абелевой, но локально конечная группа может быть бесконечной.
М
[править | править код]- Максимальная подгруппа
- Такая подгруппа, что не существует других подгрупп её содержащих (не совпадающих с самой группой).
- Метабелева группа
- Группа, коммутант которой абелев, ступень разрешимости такой группы равна 2.
- Метанильпотентная группа
- Полинильпотентная группа со ступенью разрешимости равной 2.
- Метациклическая группа
- Группа, обладающая циклической нормальной подгруппой, факторгруппа по которой также циклическая. Всякая конечная группа, порядок которой свободен от квадратов (то есть не делится на квадрат какого-либо числа), является метациклической.
- Минимальная нормальная подгруппа
- Наименьшая (по включению) неединичная (то есть, состоящая не только из единичного элемента) нормальная подгруппа.
Н
[править | править код]- Нейтральный элемент
- Элемент, задаваемый в определении группы, любое применение которого при бинарной операции оставляет другой аргумент неизменным.
- Нильпотентная группа
- Группа, обладающая центральным рядом подгрупп. Минимальная из длин таких рядов называется её классом нильпотентности.
- Норма группы
- Совокупность элементов группы, перестановочных со всеми подгруппами, то есть пересечение нормализаторов всех её подгрупп.
- Нормализатор
- Для подгруппы в — это максимальная подгруппа , в которой нормальна. Иначе говоря, нормализатор есть стабилизатор при действии на множестве своих подгрупп сопряжениями, то есть .
- Нормальная подгруппа
- есть нормальная подгруппа , если для любого элемента выполнено , то есть правые и левые классы смежности в совпадают. Иначе говоря, если . Также называется инвариантная подгруппа, нормальный делитель.
- Нормальный делитель
- То же, что и нормальная подгруппа.
- Нормальный ряд подгрупп
- Ряд подгрупп, в котором нормальна в , для всех членов ряда.
О
[править | править код]- Орбита
- Для элемента множества , на который группа действует слева — множество всех действий над элементом: .
П
[править | править код]- Перестановочные элементы
- Пара элементов такие что .
- Период группы
- Наименьшее общее кратное порядков элементов данной группы. То же, что и экспонента, показатель группы.
- Периодическая группа
- Группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок.
- Подгруппа
- Подмножество группы , которое является группой относительно операции, определённой в .
- Подгруппа кручения
- То же, что и кручение.
- Подгруппа, порождённая множеством
- Наименьшая подгруппа, содержащая данное подмножество группы.
- Подгруппа Томпсона[англ.]
- Подгруппа, порождённая всеми абелевыми подгруппами; обозначается .
- Подгруппа Фиттинга[англ.]
- Подгруппа, порождённая всеми нильпотентными нормальными подгруппами; обозначается .
- Подгруппа Фраттини[англ.]
- Пересечение всех максимальных подгрупп, если таковые существуют, либо сама группа в противном случае; обозначается .
- Показатель группы
- То же, что и экспонента, период группы.
- Полинильпотентная группа
- Группа обладающая конечным нормальным рядом, факторы которого нильпотентны.
- Полупрямое произведение
- Для групп и над гомоморфизмом (обозначается по-разному, в том числе ) — множество , наделённое операцией , для которой для любых , .
- Порождающее множество группы
- Такое подмножество группы, что каждый элемент группы может быть записан как произведение конечного числа элементов множества и их обратных.
- Порядок группы
- То же, что и мощность множества группы (для конечных групп — количество элементов группы).
- Порядок элемента
- Для элемента — минимальное натуральное число такое, что . В случае, если такого не существует, считается, что имеет бесконечный порядок.
- Почти--группа
- Для теоретико-группового свойства — группа, обладающая подгруппой конечного индекса, обладающей свойством ; так говорят о почти нильпотентных, почти разрешимых, почти полициклических группах.
- Представление группы
- 1. Линейное представление группы, гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства.
- 2. То же, что и задание группы.
- Простая группа
- Группа, в которой нет нормальных подгрупп, кроме тривиальной (состоящей только из единичного элемента) и всей группы.
- Примарная группа
- Конечная группа, являющаяся -группой для некоторого простого числа .
- Примарная абелева группа
- Группа, являющаяся одновременно абелевой и примарной.
- Прямое произведение
- Для групп и — множество пар , наделённое операцией покомпонентного умножения: .
Р
[править | править код]- Ранг абелевой группы
- Мощность максимального линейно-независимого подмножества абелевой группы, рассматриваемой как модуль над кольцом целых чисел. Не следует путать с понятием ранга группы.
- Ранг группы
- Мощность наименьшего порождающего множества группы. Не следует путать с понятием ранга абелевой группы.
- Расширение группы
- Группа, содержащая данную группу в качестве нормальной подгруппы.
- Разрешимая группа
- Группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с абелевыми факторами. Наименьшая из длин таких рядов называется её ступенью разрешимости.
- Разрешимый радикал
- Подгруппа, порождённая всеми разрешимыми нормальными подгруппами, обозначается .
- Ряд подгрупп
- Конечная последовательность подгрупп такая, что , для всех . Такой ряд записывают в виде или в виде .
- Регулярная -группа
- Конечная -группа, для любой пары элементов и которой найдётся элемент коммутанта подгруппы, порожденной этими элементами, такой, что .
С
[править | править код]- Сверхразрешимая группа
- Группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с циклическими факторами.
- Свободная группа
- Группа, заданная некоторым множеством и при этом не имеющая никаких соотношений, кроме соотношений, определяющих группу. Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны.
- Свободное произведение
- Группа, заданная элементами данных групп без дополнительных соотношений между элементами, кроме соотношений, определяющих каждую из данных групп.
- Силовская подгруппа
- -подгруппа в , имеющая порядок , где и наибольший общий делитель чисел и равен 1.
- Симметрическая группа
- Группа всех биекций заданного конечного множества (то есть, всех перестановок) относительно операции композиции.
- Соотношение
- Тождество, которому удовлетворяют образующие группы (при задании группы образующими и соотношениями).
- Сопряжённый элемент
- Для элемента — элемент вида для некоторого . Часто используют короткое обозначение .
- Сплетение групп
- Сплетение групп и (обозначается ), где группа действует на некотором множестве , — это полупрямое произведение , где группа — прямое произведение или прямая сумма набора копий группы , индексируемого элементами множества ; в первом случае сплетение называется декартовым (или полным) сплетением и обозначается также , во втором — прямым сплетением .
- Стабилизатор
- Для элемента множества , на котором действует группа — подгруппа , все элементы которой оставляют на месте: .
- Ступень разрешимости
- Наименьшая из длин нормальных рядов подгрупп с абелевыми факторами для данной группы.
- Субнормальный ряд подгрупп
- Ряд подгрупп, в котором подгруппа нормальна в подгруппе , для всех членов ряда.
Ф
[править | править код]- Факторгруппа
- Для группы и её нормальной подгруппы — множество классов смежности подгруппы с умножением, определяемым следующим образом: .
- Факторы субнормального ряда
- Факторгруппы в определении субнормального ряда подгрупп.
Х
[править | править код]- Характеристическая подгруппа
- Подгруппа, инвариантная относительно всех автоморфизмов группы.
- Холлова подгруппа
- Подгруппа, порядок которой взаимно прост с её индексом во всей группе.
Ц
[править | править код]- Центр группы
- Максимальная группа элементов, коммутирующих с каждым элементом группы: . Своеобразная «мера абелевости»: группа абелева тогда и только тогда, когда её центр совпадает со всей группой.
- Централизатор
- Максимальная подгруппа, каждый элемент которой коммутирует с заданным элементом: .
- Центральный ряд подгрупп
- Нормальный ряд подгрупп, в котором , для всех членов ряда.
- Центральный элемент группы
- Элемент, входящий в центр группы.
- Циклическая группа
- Группа, состоящая из порождающего элемента и всех его целых степеней. Конечна в случае, если порядок порождающего элемента конечен.
Э
[править | править код]- Экспонента
- Числовая характеристика конечной группы, равная наименьшему общему кратному порядков всех элементов группы, обозначается . То же, что и период группы, показатель группы.
- Элементарная группа
- Группа, являющаяся конечной или абелевой, либо получаемая из конечных и абелевых групп последовательностью операций взятия подгрупп, эпиморфных образов, прямых пределов и расширений.
- Эпиморфизм групп
- Эпиморфизмом называется гомоморфизм , если отображение f сюръективно.
Я
[править | править код]- Ядро гомоморфизма
- Прообраз нейтрального элемента при гомоморфизме. Ядро всегда есть нормальная подгруппа, а любая нормальная подгруппа есть ядро некоторого гомоморфизма.
Таблица обозначений
[править | править код]В данном разделе приводятся некоторые обозначения, используемые в публикациях по теории групп. Для некоторых обозначений указываются также соответствующие понятия в некоторых других разделах общей алгебры (теории колец, полей). Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, обозначает то же, что и .
Символ (ΤΕΧ) | Символ (Unicode) | Название | Значение |
---|---|---|---|
Произношение | |||
Символы теории групп | |||
⊲ | Нормальная подгруппа, идеал кольца | означает « является нормальной подгруппой группы », если — группа, и « является (двусторонним) идеалом кольца », если — кольцо. | |
«нормальна в», «… является идеалом …» | |||
[ : ] | Индекс подгруппы, размерность поля | означает «индекс подгруппы в группе », если — группа, и «размерность поля над полем », если и — поля. | |
«индекс … в …», «размерность … над …» | |||
× | Прямое произведение групп | означает «прямое произведение групп и ». | |
«прямое произведение … и …» | |||
⊕ | Прямая сумма подпространств | означает «пространство разлагается в прямую сумму подпространств и ». | |
«прямая сумма … и …» | |||
⊗ | Тензорное произведение | означает «тензорное произведение тензоров и ». | |
«тензорное произведение … и …» | |||
[ , ] | Коммутатор элементов группы | означает «коммутатор элементов и группы », то есть элемент . | |
«коммутатор … и …» | |||
G' | Коммутант | означает «коммутант группы ». | |
«коммутант …» | |||
⟨ ⟩n | Циклическая группа | означает «циклическая группа порядка , порождённая элементом ». | |
«Циклическая группа порядка , порождённая » | |||
AT | Транспонированная матрица | означает «транспонированная матрица ». | |
«транспонированная матрица …» | |||
Ei, j | Матричная единица | означает «матричная -единица», то есть матрица, у которой на месте стоит единица, а на остальных местах — нули. | |
«матричная единица …» | |||
* | Сопряжённый оператор Сопряжённое пространство Мультипликативная группа поля |
означает «линейный оператор, сопряжённый к », если — линейный оператор. означает «линейное пространство, сопряжённое к (дуальное к )», если — линейное пространство. означает «мультипликативная группа поля », если — поле. | |
«оператор, сопряжённый к …»; «пространство, сопряжённое к …»; «мультипликативная группа …» | |||
Стандартные обозначения некоторых групп | |||
Sn | Симметрическая группа -ой степени | означает «симметрическая группа (или группа перестановок) степени ». | |
«эс …» | |||
An | Знакопеременная группа -ой степени | означает «знакопеременная группа (то есть группа чётных подстановок) степени ». | |
«а …» | |||
ℤ/nℤ | Циклическая группа порядка | означает «циклическая группа порядка (эквивалентно: группа остатков по сложению по модулю )». | |
GLn(F) | Полная линейная группа — группа невырожденных линейных операторов | означает «группа невырожденных линейных операторов размерности над полем » (от general linear). | |
«же эль … над …» | |||
SLn(F) | Специальная линейная группа — группа линейных операторов c определителем 1 | означает «группа линейных операторов размерности над полем с определителем 1» (от special linear). | |
«эс эль … над …» | |||
UTn(F) | Группа верхних треугольных матриц | означает «группа верхних треугольных матриц порядка над полем » (от upper triangular). | |
«группа верхних треугольных матриц порядка … над …» | |||
SUTn(F) | Группа верхних унитреугольных матриц | означает «группа верхних унитреугольных матриц порядка над полем » (от special upper triangular), то есть верхних треугольных матриц с единицами на главной диагонали. | |
«группа верхних унитреугольных матриц порядка … над …» | |||
PGLn(K) | Проективная группа | означает "группа преобразований -мерного проективного пространства , индуцированных невырожденными линейными преобразованиями пространства . | |
«проективная группа порядка … над …» | |||
Dn | Группа диэдра -ой степени | означает «группа диэдра -ой степени» (то есть группа симметрий правильного -угольника). | |
«дэ …» | |||
V4 | Четверная группа Клейна | означает «четверная группа Клейна». | |
«вэ четыре» |
Литература
[править | править код]- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
- Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.